Coordonnées polaires , coordonnées paramétriques

Dans un repère orthonormé (Ox,Oy) direct, orienté par le sens trigonométrique usuel (sens inverse des aiguilles d'une horloge ou d'une montre... à aiguilles), un point M(x,y) (coordonnées cartésiennes) peut être repéré par ses coordonnées polaires : le pôle est l'origine O, Ox est l'axe polaire. Soit t = ^(Ox,OM) l'angle de rotation amenant l'axe (O,i) sur l'axe (O,i') supportant M, en tournant dans le sens direct (sens trigonométrique).
Un point M est caractérisé par l'angle, dit angle polaire de M, et par la mesure algébrique r de OM sur (O,i'). Le nombre r peut donc être positif ou négatif (voire nul si M est O); c'est le rayon-vecteur de M.
Il est clair que tout couple (t,r) définit un point et un seul du plan. Cependant, tout point M possède une infinité de repérage polaire : t est défini à 2p près et, de plus, on remarquera que les notations M(r,t) et M(-r,t + p) désignent le même point.
Sur le schéma ci-dessus, si on pose N(t',r') alors on peut aussi écrire N(t,-r') ou encore, puisque N, O et M sont alignés : N(t + p, r') ou N(t - p, r').


Le fameux sens trigonométrique trouve son origine en mécanique céleste : 600 ans av. J.-C., Thalès croyait déjà à la rotation de la Terre autour du Soleil (dans le plan qui fut appelé l'écliptique) et à la rotation de la Terre sur elle-même. Ptolémée, 700 ans plus tard, affirmait encore, à tort, que le Soleil tournait autour de la Terre. Mais le monde héliocentrique était d'accord pour constater que cette rotation se faisait d'Ouest en Est pour la rotation de la Terre sur elle-même et dans ce "même" sens quant à la rotation de la Terre autour du soleil ou du soleil autour de la Terre, pour un bonhomme embroché comme indiqué sur le dessin et regardant le plan de l'écliptique. L'interprétation géocentrique conduit, au contraire, à une rotation dans le sens des aiguilles d'une horloge (montre à aiguilles...).

Vu sous l'angle héliocentrique, le sens astronomique, dit direct (dans le bon sens) et s'opposant à rétrograde, en sens inverse (horloge), a alors été choisi pour définir le sens trigonométrique de rotation dans un repère orthonormé (Ox,Oy). Implicitement utilisé par Ptolémée, Regiomontanus, Kepler, il sera formalisé par les Bernoulli, Euler, Gauss et deviendra universel.
Ox orienté vers la droite (Est, horizon)
Oy orienté vers le "haut" (zénith, Nord)
La rotation d'angle minimal qui amène l'axe des abscisses sur celui des ordonnées est de 90° : par convention cet angle sera positif : ^(Ox,Oy) = + p/2.

Équation polaire d'une courbe :

Une courbe est dite définie en coordonnées polaires si tout point M(r,t) de cette courbe vérifie une équation (ou plusieurs simultanées si nécessaire : définition par morceaux) de la forme r = f(t) où f est une fonction de t (variant éventuellement dans un ensemble J précisé). Le problème est parfois (souvent) de rechercher l'ensemble J minimal permettant l'obtention de la courbe en entier. Si le changement de t en -t laisse r invariant, alors la courbe admet l'axe Ox comme axe de symétrie; si r se change en son opposé, alors la courbe admet l'axe Oy comme axe de symétrie. Si r(a - t) = r(t), alors il y a symétrie par rapport à l'axe d'angle polaire a/2.
L'équation polaire du cercle de centre (a,0) de rayon a (donc passant par O) est donnée par : r = 2a.cos t
L'équation polaire de la droite d'équation x = a en repère orthonormé est : r = a/cos t

Le trèfle, dit aussi quadrifolium a pour équation polaire r = 3cos 2t (d'une façon générale : r = a.cos 2t). C'est une rosace de Grandi.
Le changement de t en -t laisse r invariant : symétrie par rapport à Ox. Mais on constate aussi une symétrie par rapport à Oy. En effet r(p - t) = r(t) puisque la fonction cosinus est paire et de période 2p : il y a donc symétrie par rapport à Oy correspondant à l'axe d'angle polaire p/2.

Équation paramétrique d'une courbe :

En projetant un point M(x,y) sur les axes, la trigonométrie élémentaire nous enseigne que x = r.cos t et y = r.sin t. Comme r dépend de t, une courbe peut être définie par la donnée de
x = f(t) et de y = g(t)
on parle d'équation paramétrique ou de représentation paramétrique d'une courbe ou encore de courbe paramétrée. Le paramètre étant bien entendu le nombre réel t.
Par exemple, l'ellipse de demi grand axe a et de demi petit axe b peut être défini par l'équation paramétrique :
x = a.cos t , y = b.sin t , t décrivant [0,2p]